कक्षा 10: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
यह लेख कक्षा 10 के छात्रों के लिए द्विघात समीकरणों का सरल और प्रभावी परिचय प्रदान करता है। इसमें परिभाषाएँ, उदाहरण, और हल करने की विधियाँ शामिल हैं।
द्विघात समीकरण क्या है?
एक द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसे ax^2 + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
- \(a, b, c\) वास्तविक संख्याएँ हैं।
- \(a \neq 0\) होना चाहिए।
उदाहरण:
निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं:
- \(2x^2 + 3x - 5 = 0\)
- \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
- \(3x^2 + 7 = 0\)
द्विघात समीकरण हल करने की विधियाँ
द्विघात समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित तीन प्रमुख विधियाँ उपयोग की जाती हैं:
- कारक विधि (Factorization Method): इसे कारकों में विभाजित करके हल किया जाता है।
- पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square): इसे \(x^2\) के गुणांक को 1 बनाकर हल किया जाता है।
- गणितीय सूत्र (Quadratic Formula): \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
उदाहरण द्वारा समझें:
समस्या:
\(2x^2 + 5x - 3 = 0\) को हल करें।
हल:
- \(a = 2, b = 5, c = -3\)
- \(b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49\)
- \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}\)
- तो, \(x = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) और \(x = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)
अत: उत्तर: \(x = \frac{1}{2}, -3\)
प्रश्न अभ्यास:
निम्नलिखित प्रश्नों को हल करें:
- \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
- \(3x^2 - 2x - 8 = 0\)
- \(x^2 + 7x + 12 = 0\)
