निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण एक द्विघात समीकरण है?
- A) \( x + 2 = 0 \)
- B) \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)
- C) \( x^3 - x + 1 = 0 \)
- D) \( 2x - 5 = 0 \)
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उत्तर: B) \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)
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द्विघात समीकरण वह है जिसमें चर (variable) की सर्वोच्च घात 2 होती है। विकल्प B में \( x^2 \) है, जो इसे द्विघात समीकरण बनाता है।
यदि द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल वास्तविक हैं, तो निरपेक्ष भेद (Discriminant) \( D \) के लिए क्या होगा?
- A) \( D > 0 \)
- B) \( D = 0 \)
- C) \( D \geq 0 \)
- D) \( D < 0 \)
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उत्तर: C) \( D \geq 0 \)
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द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए भेद \( D = b^2 - 4ac \) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए, अर्थात् \( D \geq 0 \)।
समीकरण \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) के मूल क्या हैं?
- A) \( x = 2, x = 3 \)
- B) \( x = -2, x = -3 \)
- C) \( x = 1, x = 6 \)
- D) \( x = -1, x = -6 \)
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उत्तर: A) \( x = 2, x = 3 \)
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समीकरण को गुणनखंडित करें: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] अतः \( x = 2 \) या \( x = 3 \)।
द्विघात समीकरण \( x^2 + 4x + k = 0 \) के दो समान मूल हैं, तो \( k \) का मान क्या होगा?
- A) 4
- B) 0
- C) 2
- D) 4
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उत्तर: A) 4
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दो समान मूल होने के लिए \( D = 0 \) \[ D = b^2 - 4ac = 0 \\ (4)^2 - 4(1)(k) = 0 \\ 16 - 4k = 0 \\ 4k = 16 \\ k = 4 \]
यदि \( x = 2 \) और \( x = 3 \) किसी द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो समीकरण क्या होगा?
- A) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
- B) \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)
- C) \( x^2 - 5x - 6 = 0 \)
- D) \( x^2 + 5x - 6 = 0 \)
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उत्तर: A) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
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समीकरण: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \\ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
द्विघात समीकरण \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) का भेद क्या है?
- A) 1
- B) 5
- C) 9
- D) 13
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उत्तर: A) 1
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\[ D = b^2 - 4ac \\ D = (-3)^2 - 4(2)(1) \\ D = 9 - 8 = 1 \]
यदि द्विघात समीकरण \( x^2 + px + 16 = 0 \) के मूल बराबर हैं, तो \( p \) का मान क्या होगा?
- A) 8
- B) -8
- C) \( \pm 8 \)
- D) 0
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उत्तर: C) \( \pm 8 \)
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\[ \text{दो समान मूल होने के लिए } D = 0 \\ D = p^2 - 4ac = 0 \\ p^2 - 64 = 0 \\ p^2 = 64 \\ p = \pm 8 \]
द्विघात समीकरण \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) के मूलों का योग और गुणनफल क्या है?
- A) योग = 4, गुणनफल = 4
- B) योग = -4, गुणनफल = 4
- C) योग = 4, गुणनफल = -4
- D) योग = -4, गुणनफल = -4
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उत्तर: A) योग = 4, गुणनफल = 4
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द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) में, मूलों का योग \( = -\frac{b}{a} \), मूलों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \)। यहाँ, \( a = 1, b = -4, c = 4 \) \[ \text{योग } = -\left( \frac{-4}{1} \right) = 4 \\ \text{गुणनफल } = \frac{4}{1} = 4 \]
समीकरण \( x^2 + x + 1 = 0 \) के मूलों का प्रकार क्या है?
- A) दो समान वास्तविक मूल
- B) दो अलग-अलग वास्तविक मूल
- C) दो सम्मिश्र मूल
- D) कोई मूल नहीं
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उत्तर: C) दो सम्मिश्र मूल
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\[ D = b^2 - 4ac \\ D = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \\ \] चूंकि \( D < 0 \), इसलिए मूल सम्मिश्र होंगे।
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों का योग 7 है और गुणनफल 12 है, तो समीकरण क्या होगा?
- A) \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
- B) \( x^2 + 7x + 12 = 0 \)
- C) \( x^2 - 7x - 12 = 0 \)
- D) \( x^2 + 7x - 12 = 0 \)
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उत्तर: A) \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
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द्विघात समीकरण का स्वरूप: \[ x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \\ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
