कक्षा 10 एनसीईआरटी: द्विघात समीकरण हल करने की विधियाँ (गुणनखंडन, वर्ग पूर्णता, विभेदक)

कक्षा 10: द्विघात समीकरण हल करने की विधियाँ

यह पोस्ट द्विघात समीकरण हल करने की विभिन्न विधियों, विभेदक के उपयोग, और ग्राफिकल निरूपण पर आधारित है। सरल उदाहरणों के साथ इसे समझाया गया है ताकि विद्यार्थी आत्म-अध्ययन कर सकें।

गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण हल करना

गुणनखंडन विधि में, समीकरण को दो सरल कारकों में विभाजित किया जाता है। इसे हल करने के चरण निम्नलिखित हैं:

1. द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) को देखें।
2. \(a \times c\) का मान ज्ञात करें और ऐसा विभाजन करें कि उनका योग \(b\) हो।
3. समीकरण को दो कारकों में विभाजित करें।
4. हर कारक को शून्य के बराबर रखें और \(x\) का मान निकालें।

उदाहरण:

\(x^2 + 5x + 6 = 0\) को हल करें।

हल:

1. \(a = 1, b = 5, c = 6\)
2. \(a \times c = 6\). विभाजन: \(2\) और \(3\), क्योंकि \(2 + 3 = 5\).
3. \(x^2 + 2x + 3x + 6 = 0\)
4. \(x(x + 2) + 3(x + 2) = 0\)
5. \((x + 2)(x + 3) = 0\)
6. तो, \(x = -2\) और \(x = -3\)

वर्ग पूर्णता विधि द्वारा द्विघात समीकरण हल करना

इस विधि में, द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में परिवर्तित किया जाता है।

1. द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) का रूप बदलें ताकि \(a = 1\) हो।
2. आधे \(b\) का वर्ग जोड़ें और घटाएँ।
3. समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें।
4. \(x\) का मान निकालने के लिए वर्गमूल लें।

उदाहरण:

\(x^2 + 6x + 5 = 0\) को हल करें।

हल:

1. \((x^2 + 6x) + 5 = 0\)
2. \((x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = 0\)
3. \((x + 3)^2 - 4 = 0\)
4. \((x + 3)^2 = 4\)
5. \(x + 3 = \pm 2\)
6. तो, \(x = -1\) और \(x = -5\)

विभेदक (Discriminant) और जड़ों की प्रकृति

द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के लिए, विभेदक को \[D = b^2 - 4ac\] से परिभाषित किया जाता है। विभेदक के मान के आधार पर, समीकरण की जड़ों की प्रकृति का निर्धारण किया जा सकता है:

• स्थिति 1: यदि \(D > 0\), तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं।
• स्थिति 2: यदि \(D = 0\), तो दो समान वास्तविक मूल हैं।
• स्थिति 3: यदि \(D < 0\), तो कोई वास्तविक मूल नहीं है।

द्विघात समीकरण का ग्राफिकल निरूपण

द्विघात समीकरण का ग्राफ हमेशा एक पराबोला (parabola) होता है।

• यदि \(a > 0\), पराबोला ऊपर की ओर होती है।
• यदि \(a < 0\), पराबोला नीचे की ओर होती है।
• ग्राफ की \(x\)-अक्ष के साथ काटने की बिंदु जड़ों को दर्शाते हैं।

उदाहरण:

\(x^2 - 4x + 3 = 0\) का ग्राफ तैयार करें।

जड़ें: \(x = 1, 3\). पराबोला ऊपर की ओर है क्योंकि \(a = 1 > 0\).

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